Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию задачи прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. Из этого следует, что:
— угол $B$ является общим для обоих треугольников;
— угол $BMN$ равен углу $BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$.
Следовательно, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (первый признак подобия).

2. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

3. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ через $x$. Тогда длина стороны $BC$ будет равна сумме отрезков $BN$ и $NC$:
$BC = BN + NC = x + 25$.

4. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{12}{42} = \frac{x}{x + 25}$.

5. Для удобства сократим дробь $\frac{12}{42}$ на $6$:
$\frac{2}{7} = \frac{x}{x + 25}$.

6. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (x + 25) = 7 \cdot x$;
$2x + 50 = 7x$;
$7x - 2x = 50$;
$5x = 50$;
$x = 10$.

Таким образом, $BN = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ