Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x^2 + y^2 = 36 \\ 10x^2 + 2y^2 = 36x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразование системы.
Заметим, что левая часть второго уравнения очень похожа на левую часть первого уравнения. Если мы умножим первое уравнение на $2$, то получим выражение, идентичное левой части второго уравнения:
$2 \cdot (5x^2 + y^2) = 2 \cdot 36$
$10x^2 + 2y^2 = 72$

Шаг 2. Использование метода подстановки.
Теперь мы видим, что в левой части второго уравнения системы стоит выражение $10x^2 + 2y^2$, которое, как мы выяснили, равно $72$. Подставим это значение во второе уравнение:
$72 = 36x$

Шаг 3. Нахождение переменной $x$.
Разделим обе части уравнения на $36$:
$x = \frac{72}{36}$
$x = 2$

Шаг 4. Нахождение переменной $y$.
Подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение системы $5x^2 + y^2 = 36$:
$5 \cdot 2^2 + y^2 = 36$
$5 \cdot 4 + y^2 = 36$
$20 + y^2 = 36$
$y^2 = 36 - 20$
$y^2 = 16$

Уравнение $y^2 = 16$ имеет два корня:
$y_1 = 4$
$y_2 = -4$

Шаг 5. Запись пар решений.
Таким образом, при $x = 2$ мы получили два возможных значения для $y$. Это дает нам две пары чисел: $(2; 4)$ и $(2; -4)$.

Ответ: (2; 4), (2; -4)

Источник: ФИПИ