Задание №24 — Геометрия

#47844Задание №24ФИПИ

Треугольник

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 5 и 20, $B D = 10$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы при параллельных прямых. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то $BC \parallel AD$ . Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, которые образуют эти равные углы в треугольниках $CBD$ и $BDA$ .
В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$ .
В треугольнике $BDA$ это стороны $BD$ и $AD$ .

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$ .
Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$ .

4. Мы получили, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ( $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$ ), а углы, заключённые между этими сторонами, равны ( $\angle CBD = \angle BDA$ ).

5. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники подобны по второму признаку подобия.

Источник: ФИПИ