Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x - 4)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x - 4)^2 = t$. Заметим, что так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Так как $(x - 4)^4 = ((x - 4)^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид:
$t^2 - 4t - 21 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$

4. Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t \geq 0$:
Значение $t_2 = -3$ не подходит, так как $(x - 4)^2$ не может равняться отрицательному числу (уравнение $(x - 4)^2 = -3$ не имеет действительных корней).

6. Рассмотрим случай $t_1 = 7$:
$(x - 4)^2 = 7$
Из этого уравнения следует два возможных варианта:
$x - 4 = \sqrt{7}$ или $x - 4 = -\sqrt{7}$

7. Выразим $x$ в каждом случае:
$x_1 = 4 + \sqrt{7}$
$x_2 = 4 - \sqrt{7}$

Ответ: $4 - \sqrt{7}; 4 + \sqrt{7}$

Источник: ФИПИ