Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Для начала заметим, что выражение во второй скобке в левой части уравнения представляет собой формулу квадрата суммы: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
Разложим $x^{2} + 6x + 9$ на множители:
$x^{2} + 6x + 9 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = (x + 3)^{2}$.
Теперь перепишем исходное уравнение с учётом этого преобразования:
$(x - 1)(x + 3)^{2} = 5(x + 3)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$(x - 1)(x + 3)^{2} - 5(x + 3) = 0$.

3. Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3) \cdot ((x - 1)(x + 3) - 5) = 0$.

4. Упростим выражение во вторых скобках. Для этого раскроем произведение $(x - 1)(x + 3)$:
$(x - 1)(x + 3) = x^{2} + 3x - x - 3 = x^{2} + 2x - 3$.
Подставим это обратно в уравнение:
$(x + 3)(x^{2} + 2x - 3 - 5) = 0$,
$(x + 3)(x^{2} + 2x - 8) = 0$.

5. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1:
$x + 3 = 0$
$x_{1} = -3$.

Случай 2:
$x^{2} + 2x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Найдём корни:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}$.
$x_{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_{3} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-4$, $-3$ и $2$.

Ответ: -4; -3; 2.

Источник: ФИПИ