Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость баржи по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч.
2) Скорость баржи против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч.

Заметим, что по смыслу задачи скорость баржи должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$ .

Теперь выразим время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$ :

1) Время, затраченное на путь по течению (40 км): $t_1 = \frac{40}{x + 5}$ ч.
2) Время, затраченное на путь против течения (30 км): $t_2 = \frac{30}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время в пути составило $5$ часов. Составим уравнение:
$\frac{40}{x + 5} + \frac{30}{x - 5} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$ , чтобы упростить вычисления:
$\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$ :
$\frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{8x - 40 + 6x + 30}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{14x - 10}{x^2 - 25} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x^2 - 25 \neq 0$ ):
$14x - 10 = x^2 - 25$
$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$
$\sqrt{D} = 16$

Найдём корни:
$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной ( $x > 5$ ), корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ