Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость баржи по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч.
2) Скорость баржи против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч.

Заметим, что по смыслу задачи скорость баржи должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$.

Теперь выразим время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

1) Время, затраченное на путь по течению (40 км): $t_1 = \frac{40}{x + 5}$ ч.
2) Время, затраченное на путь против течения (30 км): $t_2 = \frac{30}{x - 5}$ ч.

По условию задачи общее время в пути составило $5$ часов. Составим уравнение:
$\frac{40}{x + 5} + \frac{30}{x - 5} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{8x - 40 + 6x + 30}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{14x - 10}{x^2 - 25} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x^2 - 25 \neq 0$):
$14x - 10 = x^2 - 25$
$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$
$\sqrt{D} = 16$

Найдём корни:
$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость не может быть отрицательной ($x > 5$), корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ