Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть для определенности диагональ $BD = 76$. Тогда $BO = OD = 76 : 2 = 38$.

2) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию $OH = 19$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOH$ (угол $H = 90^{\circ}$). В этом треугольнике сторона $OH$ является катетом, а сторона $BO$ — гипотенузой. Заметим, что $OH = 19$, а $BO = 38$. Следовательно, катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $BO$:
$\frac{OH}{BO} = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$.

4) По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^{\circ}$. Значит, $\angle OBH = 30^{\circ}$.

5) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $B$ ромба целиком в два раза больше угла $OBH$:
$\angle ABC = 2 \cdot \angle OBH = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

6) Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ}$. Найдем второй угол ромба (угол $A$):
$\angle BAD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Противолежащие углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$.

Ответ: 60^{\circ}, 120^{\circ}

Источник: ФИПИ