Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $M$ , лежащей на стороне $A D$ . Докажите, что $M$ $—$ середина $A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$ .

2) Рассмотрим биссектрису $BM$ . Так как $BC \parallel AD$ , то углы $\angle CBM$ и $\angle AMB$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей $BM$ . Поскольку $BM$ — биссектриса угла $B$ , то $\angle CBM = \angle ABM$ . Следовательно, $\angle ABM = \angle AMB$ .

3) В треугольнике $ABM$ два угла равны ( $\angle ABM = \angle AMB$ ), значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BM$ . Отсюда следует, что $AB = AM$ .

4) Аналогично рассмотрим биссектрису $CM$ . Углы $\angle BCM$ и $\angle DMC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CM$ . Так как $CM$ — биссектриса угла $C$ , то $\angle BCM = \angle MCD$ . Следовательно, $\angle MCD = \angle DMC$ .

5) В треугольнике $MCD$ два угла равны ( $\angle MCD = \angle DMC$ ), значит, треугольник $MCD$ — равнобедренный с основанием $MC$ . Отсюда следует, что $CD = MD$ .

6) По свойству параллелограмма противоположные стороны равны: $AB = CD$ .
Из полученных равенств имеем: $AM = AB$ , $MD = CD$ и $AB = CD$ .
Следовательно, $AM = MD$ .

7) Так как точка $M$ лежит на стороне $AD$ и делит её на два равных отрезка ( $AM = MD$ ), то точка $M$ является серединой стороны $AD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ