Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Рассмотрим данное неравенство: $\frac{-13}{(x-4)^2 - 6} \geq 0$.

1. Проанализируем числитель дроби. Числитель равен $-13$. Это отрицательное число ($-13 < 0$).

2. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаки числителя и знаменателя должны быть согласованы. Так как числитель отрицателен, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель тоже должен быть отрицательным.
Важно помнить: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому неравенство для знаменателя будет строгим.

3. Составим и решим неравенство для знаменателя:
$(x-4)^2 - 6 < 0$

4. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Заметим, что $6 = (\sqrt{6})^2$:
$(x-4 - \sqrt{6})(x-4 + \sqrt{6}) < 0$

5. Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
$x - 4 - \sqrt{6} = 0 \Rightarrow x_1 = 4 + \sqrt{6}$
$x - 4 + \sqrt{6} = 0 \Rightarrow x_2 = 4 - \sqrt{6}$

6. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Точки будут "выколотыми", так как неравенство строгое.
Выражение $(x-4)^2 - 6$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

7. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$4 - \sqrt{6} < x < 4 + \sqrt{6}$

Запишем это в виде промежутка: $(4 - \sqrt{6}; 4 + \sqrt{6})$.

Ответ: $(4 - \sqrt{6}; 4 + \sqrt{6})$

Источник: ФИПИ