Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $C D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $B C$ .
Точка $N$ $—$ середина стороны $C D$ . Докажите, что $B N$ $—$ биссектриса
угла $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим сторону $CD$ параллелограмма $ABCD$ . По условию задачи точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Это означает, что отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $CN = ND = \frac{1}{2} CD$ .

2. Также по условию известно, что сторона $CD$ вдвое больше стороны $BC$ , то есть $CD = 2 \cdot BC$ . Отсюда следует, что $BC = \frac{1}{2} CD$ .

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $CN = \frac{1}{2} CD$ и $BC = \frac{1}{2} CD$ . Следовательно, в треугольнике $BCN$ стороны $BC$ и $CN$ равны: $BC = CN$ .

4. Так как в треугольнике $BCN$ две стороны равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BN$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны, значит, $\angle CBN = \angle CNB$ .

5. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ( $AB \parallel CD$ ). Отрезок $BN$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle ABN = \angle CNB$ .

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle CBN = \angle CNB$ ;
— Как накрест лежащие: $\angle ABN = \angle CNB$ .
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABN = \angle CBN$ .

7. Так как луч $BN$ делит угол $ABC$ на два равных угла ( $\angle ABN$ и $\angle CBN$ ), то по определению $BN$ является биссектрисой угла $ABC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ