Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $C D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $B C$ .
Точка $N$ $—$ середина стороны $C D$ . Докажите, что $B N$ $—$ биссектриса
угла $A B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим сторону $CD$ параллелограмма $ABCD$ . По условию задачи точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Это означает, что отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $CN = ND = \frac{1}{2} CD$ .

2. Также по условию известно, что сторона $CD$ вдвое больше стороны $BC$ , то есть $CD = 2 \cdot BC$ . Отсюда следует, что $BC = \frac{1}{2} CD$ .

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $CN = \frac{1}{2} CD$ и $BC = \frac{1}{2} CD$ . Следовательно, в треугольнике $BCN$ стороны $BC$ и $CN$ равны: $BC = CN$ .

4. Так как в треугольнике $BCN$ две стороны равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BN$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны, значит, $\angle CBN = \angle CNB$ .

5. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ( $AB \parallel CD$ ). Отрезок $BN$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle ABN = \angle CNB$ .

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle CBN = \angle CNB$ ;
— Как накрест лежащие: $\angle ABN = \angle CNB$ .
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABN = \angle CBN$ .

7. Так как луч $BN$ делит угол $ABC$ на два равных угла ( $\angle ABN$ и $\angle CBN$ ), то по определению $BN$ является биссектрисой угла $ABC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ