Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим сторону $CD$ параллелограмма $ABCD$. По условию задачи точка $N$ является серединой стороны $CD$. Это означает, что отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине всей стороны: $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.

2. Также по условию известно, что сторона $CD$ вдвое больше стороны $BC$, то есть $CD = 2 \cdot BC$. Отсюда следует, что $BC = \frac{1}{2} CD$.

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что $CN = \frac{1}{2} CD$ и $BC = \frac{1}{2} CD$. Следовательно, в треугольнике $BCN$ стороны $BC$ и $CN$ равны: $BC = CN$.

4. Так как в треугольнике $BCN$ две стороны равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BN$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны, значит, $\angle CBN = \angle CNB$.

5. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Отрезок $BN$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle ABN = \angle CNB$.

6. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
— Из равнобедренного треугольника: $\angle CBN = \angle CNB$;
— Как накрест лежащие: $\angle ABN = \angle CNB$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABN = \angle CBN$.

7. Так как луч $BN$ делит угол $ABC$ на два равных угла ($\angle ABN$ и $\angle CBN$), то по определению $BN$ является биссектрисой угла $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ