Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-11}{(x - 2)^2 - 3} \geq 0$.

Шаг 1. Анализ знака дроби.
Дробь больше или равна нулю, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).
Заметим, что числитель дроби равен $-11$. Это отрицательное число ($-11 < 0$).
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель обязан быть отрицательным.
Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому неравенство становится строгим.

Шаг 2. Переход к неравенству для знаменателя.
Запишем условие для знаменателя:
$(x - 2)^2 - 3 < 0$

Шаг 3. Решение полученного неравенства.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим число $3$ как $(\sqrt{3})^2$:
$(x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2 < 0$
$(x - 2 - \sqrt{3})(x - 2 + \sqrt{3}) < 0$

Шаг 4. Нахождение корней и применение метода интервалов.
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти критические точки:
1) $x - 2 - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_1 = 2 + \sqrt{3}$
2) $x - 2 + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2 - \sqrt{3})$, $(2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})$ и $(2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
Так как перед нами квадратичная функция с положительным коэффициентом при $x^2$ (парабола ветвями вверх), знаки на интервалах будут распределяться так: «плюс», «минус», «плюс».
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак «минус»).

Это интервал: $2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$.

Ответ: $(2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})$

Источник: ФИПИ