Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x - 2)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x - 2)^{2} = t$. Заметим, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому наложим условие: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, заменив $(x - 2)^{2}$ на $t$, а $(x - 2)^{4}$ на $t^{2}$:
$t^{2} + 3t - 10 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

4. Найдем корни уравнения для $t$:
$t_{1} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$
$t_{2} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

5. Проверим корни на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_{1} = 2$ подходит.
Значение $t_{2} = -5$ не подходит, так как квадрат числа не может быть равен отрицательному числу (уравнение $(x - 2)^{2} = -5$ не имеет действительных корней).

6. Вернемся к замене для $t = 2$:
$(x - 2)^{2} = 2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что при извлечении корня из квадрата получается два случая (положительный и отрицательный корень):
$x - 2 = \sqrt{2}$ или $x - 2 = -\sqrt{2}$

7. Выразим $x$ в обоих случаях:
$x_{1} = 2 + \sqrt{2}$
$x_{2} = 2 - \sqrt{2}$

Ответ: $2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}$

Источник: ФИПИ