Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим уравнение, приняв за неизвестное искомую величину.

1) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Так как баржа движется по реке, её скорость по течению будет равна $(x + 5)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 5)$ км/ч. По смыслу задачи $x > 5$, так как баржа смогла вернуться обратно против течения.

2) Выразим время, затраченное на каждый участок пути:
— Время на путь по течению: $t_1 = \frac{88}{x + 5}$ ч;
— Время на путь против течения: $t_2 = \frac{72}{x - 5}$ ч.

3) По условию задачи общее время в пути составило 10 часов. Составим уравнение:
$\frac{88}{x + 5} + \frac{72}{x - 5} = 10$

4) Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{44}{x + 5} + \frac{36}{x - 5} = 5$

5) Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{44(x - 5) + 36(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 5$
$44x - 220 + 36x + 180 = 5(x^2 - 25)$
$80x - 40 = 5x^2 - 125$

6) Перенесём все слагаемые в одну сторону и разделим на 5:
$5x^2 - 80x - 85 = 0$
$x^2 - 16x - 17 = 0$

7) Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 = 18^2$
$x_1 = \frac{16 + 18}{2} = \frac{34}{2} = 17$
$x_2 = \frac{16 - 18}{2} = -1$

8) Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не подходит по условию задачи. Значит, собственная скорость баржи равна 17 км/ч.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ