Задание №23 — Геометрия

#47862Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 15$ , $D C = 30$ , $A C = 39$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$ образуются накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ . Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) являются вертикальными, а значит, они равны.

2) Так как два угла треугольника $ABM$ соответственно равны двум углам треугольника $CDM$ , то эти треугольники подобны по первому признаку подобия ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Составим отношение сторон, лежащих против равных углов:
$\frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC}$ .

4) Нам известно, что вся длина отрезка $AC = 39$ . Пусть искомый отрезок $MC = x$ . Тогда отрезок $AM$ можно выразить как $AM = AC - MC = 39 - x$ .

5) Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{15}{30} = \frac{39 - x}{x}$ .

6) Сократим дробь в левой части уравнения:
$\frac{1}{2} = \frac{39 - x}{x}$ .

7) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 2 \cdot (39 - x)$
$x = 78 - 2x$
$x + 2x = 78$
$3x = 78$
$x = 78 : 3$
$x = 26$ .

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $26$ .

Ответ: 26

Источник: ФИПИ