Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. По условию задачи скорость на обратном пути была на 8 км/ч больше, значит, она равна $x + 8$ км/ч. Так как скорость не может быть отрицательной, $x > 0$.

Расстояние между городами составляет 209 км. Время, затраченное на путь из А в В, находится по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно:
$t_1 = \frac{209}{x}$ (ч).

На обратном пути из В в А велосипедист проехал то же расстояние, но с большей скоростью. Время в движении составило:
$t_{движ} = \frac{209}{x + 8}$ (ч).

Также известно, что на обратном пути он сделал остановку на 8 часов. Общее время на обратный путь складывается из времени движения и времени остановки:
$t_2 = \frac{209}{x + 8} + 8$ (ч).

По условию задачи время на путь туда и время на путь обратно равны ($t_1 = t_2$). Составим уравнение:
$\frac{209}{x} = \frac{209}{x + 8} + 8$

Перенесём дробь в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$\frac{209}{x} - \frac{209}{x + 8} = 8$
$\frac{209(x + 8) - 209x}{x(x + 8)} = 8$
$\frac{209x + 1672 - 209x}{x^2 + 8x} = 8$
$\frac{1672}{x^2 + 8x} = 8$

Разделим обе части уравнения на 8 для упрощения вычислений:
$\frac{209}{x^2 + 8x} = 1$
$x^2 + 8x = 209$
$x^2 + 8x - 209 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Так как скорость велосипедиста должна быть положительной, корень $x_2 = -19$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 11 км/ч.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ