Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель, приняв за неизвестную величину то, что требуется найти.

1. Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда, так как скорость первого на $20$ км/ч больше скорости второго, скорость второго автомобиля равна $x - 20$ км/ч. При этом $x > 20$, так как скорость не может быть отрицательной или нулевой.

2. Расстояние пробега составляет $600$ км. Выразим время, затраченное каждым автомобилем на путь:
Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{600}{x}$ ч.
Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{600}{x - 20}$ ч.

3. По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на $1$ час раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на $1$ час. Составим уравнение:
$\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = 1$

4. Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 20)$:
$\frac{600x - 600(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$
$\frac{600x - 600x + 12000}{x^2 - 20x} = 1$
$\frac{12000}{x^2 - 20x} = 1$

5. Перейдем к квадратному уравнению (учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 20$):
$x^2 - 20x = 12000$
$x^2 - 20x - 12000 = 0$

6. Найдем дискриминант уравнения:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 400 + 48000 = 48400$
$\sqrt{D} = \sqrt{48400} = 220$

7. Вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{20 + 220}{2} = \frac{240}{2} = 120$
$x_2 = \frac{20 - 220}{2} = \frac{-200}{2} = -100$

8. Так как скорость автомобиля должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -100$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость первого автомобиля равна $120$ км/ч.

Ответ: 120

Источник: ФИПИ