Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$. По условию задачи, окружность построена на высоте $BH$ как на диаметре. Точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

2) Угол $BPH$ является вписанным и опирается на диаметр $BH$. Следовательно, $\angle BPH = 90^\circ$. Аналогично, угол $BKH$ также опирается на диаметр $BH$, значит, $\angle BKH = 90^\circ$.

3) Рассмотрим четырёхугольник $PBK$. По условию треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$, то есть $\angle PBK = 90^\circ$. Мы уже выяснили, что $\angle BPH = 90^\circ$ и $\angle BKH = 90^\circ$. Четырёхугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником. Таким образом, $PBKH$ — прямоугольник.

4) В прямоугольнике диагонали равны. Отрезки $BH$ и $PK$ являются диагоналями прямоугольника $PBKH$. Следовательно, $BH = PK$.

5) По условию задачи $PK = 13$. Значит, и длина высоты $BH$ также равна $13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ