Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). Тогда скорость лодки по течению реки равна $x + 3$ км/ч, а скорость против течения — $x - 3$ км/ч. По условию задачи $x > 3$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1. Сначала найдём время, которое находился в пути плот. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $3$ км/ч. Плот проплыл $48$ км, значит, он был в пути:
$t_{плота} = \frac{48}{3} = 16$ (часов).

2. Моторная лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот проплыл свои $48$ км. Следовательно, лодка находилась в движении на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 16 - 1 = 15$ (часов).

3. Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла $108$ км от А до В по течению и $108$ км от В до А против течения. Суммарное время равно $15$ часам:
$\frac{108}{x + 3} + \frac{108}{x - 3} = 15$

4. Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$

5. Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:
$\frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

6. Перейдём к квадратному уравнению:
$5(x^2 - 9) = 72x$
$5x^2 - 45 = 72x$
$5x^2 - 72x - 45 = 0$

7. Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$
$x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$x_2 = \frac{72 - 78}{10} = -0,6$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 15$.

Ответ: 15 км/ч.

Источник: ФИПИ