Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). Тогда скорость лодки по течению реки равна $x + 3$ км/ч, а скорость против течения — $x - 3$ км/ч. По условию задачи $x > 3$ , так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1. Сначала найдём время, которое находился в пути плот. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $3$ км/ч. Плот проплыл $48$ км, значит, он был в пути:
$t_{плота} = \frac{48}{3} = 16$ (часов).

2. Моторная лодка вышла из пункта А на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот проплыл свои $48$ км. Следовательно, лодка находилась в движении на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 16 - 1 = 15$ (часов).

3. Составим уравнение для времени движения лодки. Лодка прошла $108$ км от А до В по течению и $108$ км от В до А против течения. Суммарное время равно $15$ часам:
$\frac{108}{x + 3} + \frac{108}{x - 3} = 15$

4. Разделим обе части уравнения на $3$ , чтобы упростить вычисления:
$\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$

5. Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ :
$\frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$
$\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

6. Перейдём к квадратному уравнению:
$5(x^2 - 9) = 72x$
$5x^2 - 45 = 72x$
$5x^2 - 72x - 45 = 0$

7. Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$
$x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$x_2 = \frac{72 - 78}{10} = -0,6$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 15$ .

Ответ: 15 км/ч.

Источник: ФИПИ