Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения: $(x^{2} - 36)^{2} + (x^{2} + 4x - 12)^{2} = 0$.
Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Следовательно, сумма двух неотрицательных величин может быть равна нулю только в одном случае: когда каждая из этих величин одновременно равна нулю. Это позволяет нам перейти от одного уравнения к системе уравнений:
$\begin{cases} x^{2} - 36 = 0 \\ x^{2} + 4x - 12 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^{2} - 36 = 0$
$x^{2} = 36$
$x_{1} = 6$, $x_{2} = -6$.

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют второму уравнению системы $x^{2} + 4x - 12 = 0$. Для этого подставим найденные значения по очереди:

1) Подставим $x = 6$:
$6^{2} + 4 \cdot 6 - 12 = 36 + 24 - 12 = 48$.
$48 \neq 0$, значит, число $6$ не является корнем системы.

2) Подставим $x = -6$:
$(-6)^{2} + 4 \cdot (-6) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0$.
$0 = 0$, равенство верно. Значит, число $-6$ является корнем системы и исходного уравнения.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором оба квадрата обращаются в ноль одновременно, является $-6$.

Ответ: -6

Источник: ФИПИ