Задание №20 — Алгебраические выражения

К списку заданий

#47871Задание №20ФИПИ

Уравнения и системы

Решите уравнение $\left(\right. x^{2} - 36 \left.\right)^{2} + \left(\right. x^{2} + 4 x - 12 \left.\right)^{2} = 0$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Проанализируем структуру уравнения: $(x^{2} - 36)^{2} + (x^{2} + 4x - 12)^{2} = 0$ .
Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Следовательно, сумма двух неотрицательных величин может быть равна нулю только в одном случае: когда каждая из этих величин одновременно равна нулю. Это позволяет нам перейти от одного уравнения к системе уравнений:
$\begin{cases} x^{2} - 36 = 0 \\ x^{2} + 4x - 12 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^{2} - 36 = 0$
$x^{2} = 36$
$x_{1} = 6$ , $x_{2} = -6$ .

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют второму уравнению системы $x^{2} + 4x - 12 = 0$ . Для этого подставим найденные значения по очереди:

1) Подставим $x = 6$ :
$6^{2} + 4 \cdot 6 - 12 = 36 + 24 - 12 = 48$ .
$48 \neq 0$ , значит, число $6$ не является корнем системы.

2) Подставим $x = -6$ :
$(-6)^{2} + 4 \cdot (-6) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0$ .
$0 = 0$ , равенство верно. Значит, число $-6$ является корнем системы и исходного уравнения.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором оба квадрата обращаются в ноль одновременно, является $-6$ .

Ответ: -6

Источник: ФИПИ