Задание №23 — Геометрия

#47872Задание №23ФИПИ

Окружность и круг

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A P = 34$ , а сторона $B C$ в 2 раза меньше стороны $A B$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности, следовательно, он является вписанным. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Значит, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

2. Углы $\angle KPC$ и $\angle APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ .

3. Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $I$ признак подобия).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$ .

5. По условию задачи сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$ . Это можно записать в виде отношения: $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$ .

6. Подставим известные значения: $AP = 34$ и $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
$KP = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ