Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A P = 34$ , а сторона $B C$ в 2 раза меньше стороны $A B$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности, следовательно, он является вписанным. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Значит, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

2. Углы $\angle KPC$ и $\angle APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ .

3. Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $I$ признак подобия).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$ .

5. По условию задачи сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$ . Это можно записать в виде отношения: $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$ .

6. Подставим известные значения: $AP = 34$ и $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
$KP = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ