Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A P = 34$ , а сторона $B C$ в 2 раза меньше стороны $A B$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности, следовательно, он является вписанным. Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Значит, $\angle KBC + \angle KPC = 180^{\circ}$ .

2. Углы $\angle KPC$ и $\angle APK$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^{\circ}$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^{\circ} - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ .

3. Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ . У них:
— угол $\angle A$ — общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как было доказано выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $I$ признак подобия).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}$ .

5. По условию задачи сторона $BC$ в 2 раза меньше стороны $AB$ . Это можно записать в виде отношения: $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
Выразим искомую сторону $KP$ из пропорции:
$KP = \frac{AP \cdot BC}{AB} = AP \cdot \frac{BC}{AB}$ .

6. Подставим известные значения: $AP = 34$ и $\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$ .
$KP = 34 \cdot \frac{1}{2} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ