Задание №23 — Геометрия

#47874Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 14$ , $D C = 42$ , $A C = 52$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$ образуются накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ . Аналогично, при пересечении прямых $AB$ и $DC$ секущей $BD$ накрест лежащие углы $\angle ABM$ и $\angle CDM$ также равны.

2) Так как два угла треугольника $ABM$ соответственно равны двум углам треугольника $CDM$ , то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

4) Нам известно, что $AC = 52$ . Отрезок $AC$ состоит из суммы отрезков $AM$ и $MC$ , то есть $AC = AM + MC$ . Отсюда выразим длину отрезка $AM$ :
$AM = AC - MC = 52 - MC$ .

5) Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{14}{42} = \frac{52 - MC}{MC}$ .

6) Сократим дробь в левой части уравнения:
$\frac{1}{3} = \frac{52 - MC}{MC}$ .

7) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot MC = 3 \cdot (52 - MC)$
$MC = 156 - 3 \cdot MC$ .

8) Перенесем слагаемые с $MC$ в одну сторону:
$MC + 3 \cdot MC = 156$
$4 \cdot MC = 156$
$MC = 156 : 4$
$MC = 39$ .

Ответ: 39

Источник: ФИПИ