Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Точка $K$ $—$ середина боковой стороны $C D$ трапеции $A B C D$ . Докажите,
что площадь треугольника $K A B$ равна половине площади трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$ , а $a$ и $b$ — длины её оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

2) Проведём через точку $K$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$ , до пересечения с основаниями трапеции (или их продолжениями). Однако более простым и наглядным способом будет достроить чертёж. Проведём прямую $BK$ до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$ .

3) Рассмотрим треугольники $BCK$ и $EDK$ :
— $CK = KD$ , так как $K$ — середина стороны $CD$ по условию;
— $\angle BCK = \angle EDK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$ ;
— $\angle BKC = \angle EKD$ как вертикальные.
Следовательно, $\triangle BCK = \triangle EDK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

4) Из равенства треугольников следует, что их площади равны: $S_{BCK} = S_{EDK}$ .
Тогда площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ABE$ :
$S_{ABCD} = S_{ABC K} + S_{BCK} = S_{ABC K} + S_{EDK} = S_{ABE}$ .

5) В треугольнике $ABE$ отрезок $AK$ является медианой, так как из равенства треугольников $\triangle BCK$ и $\triangle EDK$ следует, что $BK = KE$ .
Известно, что медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника (треугольники с равной площадью). Значит:
$S_{KAB} = \frac{1}{2} S_{ABE}$ .

6) Так как $S_{ABE} = S_{ABCD}$ , получаем:
$S_{KAB} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$ .
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ