Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, а $a$ и $b$ — длины её оснований $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$.

2) Проведём через точку $K$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основаниями трапеции (или их продолжениями). Однако более простым и наглядным способом будет достроить чертёж. Проведём прямую $BK$ до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

3) Рассмотрим треугольники $BCK$ и $EDK$:
— $CK = KD$, так как $K$ — середина стороны $CD$ по условию;
— $\angle BCK = \angle EDK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$;
— $\angle BKC = \angle EKD$ как вертикальные.
Следовательно, $\triangle BCK = \triangle EDK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

4) Из равенства треугольников следует, что их площади равны: $S_{BCK} = S_{EDK}$.
Тогда площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ABE$:
$S_{ABCD} = S_{ABC K} + S_{BCK} = S_{ABC K} + S_{EDK} = S_{ABE}$.

5) В треугольнике $ABE$ отрезок $AK$ является медианой, так как из равенства треугольников $\triangle BCK$ и $\triangle EDK$ следует, что $BK = KE$.
Известно, что медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника (треугольники с равной площадью). Значит:
$S_{KAB} = \frac{1}{2} S_{ABE}$.

6) Так как $S_{ABE} = S_{ABCD}$, получаем:
$S_{KAB} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ