Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). По условию, $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$. Это означает, что отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$, а точка $H$ лежит на гипотенузе.

2) Вспомним свойство прямоугольного треугольника: катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$.

3) Запишем это свойство в виде формулы: $AB^2 = AC \cdot AH$.

4) Также это можно доказать через подобие треугольников. Треугольник $ABH$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ у них общий, а $\angle AHB = \angle ABC = 90^\circ$). Из подобия следует отношение соответствующих сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$. Отсюда, перемножив крест-накрест, получаем ту же формулу: $AB^2 = AC \cdot AH$.

5) Подставим известные значения из условия задачи ($AH = 4$, $AC = 16$) в формулу: $AB^2 = 16 \cdot 4$. $AB^2 = 64$.

6) Найдём длину отрезка $AB$, извлекая корень из полученного числа: $AB = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ