Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $S_{ABCD}$ — площадь трапеции $ABCD$, а $h$ — её высота. Обозначим основания трапеции как $AD = a$ и $BC = b$. Тогда площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$.

2. Проведём через точку $E$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает боковую сторону $CD$ в точке $F$. Отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$, так как $E$ — середина $AB$ и $EF \parallel AD$.
По свойству средней линии трапеции: $EF = \frac{a + b}{2}$.

3. Рассмотрим треугольник $ECD$. Его можно представить как сумму двух треугольников: $ECF$ и $EDF$, имеющих общее основание $EF$.
Пусть $h_1$ — высота треугольника $ECF$, опущенная из вершины $C$ на прямую $EF$, а $h_2$ — высота треугольника $EDF$, опущенная из вершины $D$ на ту же прямую.

4. Так как прямая $EF$ параллельна основаниям и проходит через середину боковой стороны, она делит высоту трапеции $h$ пополам. Следовательно, $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$.

5. Вычислим площадь треугольника $ECD$:
$S_{ECD} = S_{ECF} + S_{EDF} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h_2$
$S_{ECD} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot (h_1 + h_2)$
$S_{ECD} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h$.

6. Подставим выражение для средней линии $EF = \frac{a + b}{2}$ в формулу площади треугольника:
$S_{ECD} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a + b}{2} \right) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a + b}{2} \cdot h \right)$.

7. Заметим, что выражение в скобках — это и есть площадь трапеции $S_{ABCD}$. Таким образом:
$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ