Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ углы $B C A$ и $B D A$ равны. Докажите, что углы $A B D$ и $A C D$ также равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ . По условию задачи углы $BCA$ и $BDA$ равны. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $AB$ , и вершины $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ .

2. Существует геометрический признак: если отрезок $AB$ виден из двух точек $C$ и $D$ , лежащих по одну сторону от него, под равными углами ( $\angle BCA = \angle BDA$ ), то точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на одной окружности.

4. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

5. Рассмотрим углы $ABD$ и $ACD$ . Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на одну и ту же дугу $AD$ .

6. Следовательно, по свойству вписанных углов, $\angle ABD = \angle ACD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ