Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи углы $BCA$ и $BDA$ равны. Заметим, что эти углы опираются на один и тот же отрезок $AB$, и вершины $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$.

2. Существует геометрический признак: если отрезок $AB$ виден из двух точек $C$ и $D$, лежащих по одну сторону от него, под равными углами ($\angle BCA = \angle BDA$), то точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на одной окружности.

3. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ является вписанным в окружность. Это означает, что все его вершины лежат на одной окружности.

4. Вспомним свойство вписанных углов: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

5. Рассмотрим углы $ABD$ и $ACD$. Оба этих угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на одну и ту же дугу $AD$.

6. Следовательно, по свойству вписанных углов, $\angle ABD = \angle ACD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ