Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. Из этого следует, что угол $BMN$ равен углу $BAC$, а угол $BNM$ равен углу $BCA$ как соответствующие углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$ соответственно.

2. Так как два угла треугольника $MBN$ равны двум углам треугольника $ABC$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

4. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ за $x$. Заметим, что сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BN$ и $NC$. Следовательно, $BC = BN + NC = x + 28$.

5. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{13}{65} = \frac{x}{x + 28}$.

6. Сократим дробь в левой части уравнения:
$\frac{13}{65} = \frac{1}{5}$.
Получаем уравнение:
$\frac{1}{5} = \frac{x}{x + 28}$.

7. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot (x + 28) = 5 \cdot x$;
$x + 28 = 5x$;
$5x - x = 28$;
$4x = 28$;
$x = 28 : 4$;
$x = 7$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна 7.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ