Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу и введём переменную. Пусть $x$ деталей в час — производительность второго рабочего. Тогда производительность первого рабочего равна $x + 10$ деталей в час (так как он делает на 10 деталей больше).

Оба рабочих выполняют заказ объёмом 60 деталей. Вспомним формулу связи работы, производительности и времени: $t = \frac{A}{v}$, где $A$ — работа, $v$ — производительность, $t$ — время.

1) Время, затраченное первым рабочим на выполнение заказа: $t_1 = \frac{60}{x + 10}$ часов.
2) Время, затраченное вторым рабочим на выполнение заказа: $t_2 = \frac{60}{x}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время второго рабочего больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 10)$:
$\frac{20(x + 10) - 20x}{x(x + 10)} = 1$
$\frac{20x + 200 - 20x}{x^2 + 10x} = 1$
$\frac{200}{x^2 + 10x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 10x = 200$
$x^2 + 10x - 200 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = 30$

Вычислим корни:
$x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность рабочего не может быть отрицательной величиной, корень $x = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ