Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дано неравенство: $(x - 5)^{2} < \sqrt{7}(x - 5)$.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Для решения неравенства перенесём выражение из правой части в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался нуль:
$(x - 5)^{2} - \sqrt{7}(x - 5) < 0$.

Шаг 2. Разложение на множители.
Заметим, что в левой части есть общий множитель $(x - 5)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 5) \cdot ((x - 5) - \sqrt{7}) < 0$,
$(x - 5)(x - 5 - \sqrt{7}) < 0$.

Шаг 3. Нахождение корней уравнения.
Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки на числовой прямой:
$(x - 5)(x - 5 - \sqrt{7}) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$;
2) $x - 5 - \sqrt{7} = 0 \Rightarrow x_2 = 5 + \sqrt{7}$.

Шаг 4. Решение методом интервалов.
Отметим полученные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки будут «выколотыми» (пустыми). Эти точки разбивают ось на три интервала:
1) $(-\infty; 5)$;
2) $(5; 5 + \sqrt{7})$;
3) $(5 + \sqrt{7}; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 5)(x - 5 - \sqrt{7})$ на каждом интервале:
— Возьмём число из правого интервала, например, $x = 10$: $(10-5)(10-5-\sqrt{7}) = 5(5-\sqrt{7})$. Так как $\sqrt{7} \approx 2,65$, то $5 - \sqrt{7} > 0$. Значит, на этом интервале знак «$+$».
— На среднем интервале $(5; 5 + \sqrt{7})$ знак будет «$-$» (чередование знаков).
— На левом интервале $(-\infty; 5)$ знак будет «$+$».

Шаг 5. Выбор нужного промежутка.
Так как по условию выражение должно быть меньше нуля ($< 0$), нам подходит интервал со знаком «минус»:
$5 < x < 5 + \sqrt{7}$.

Запишем это в виде промежутка: $(5; 5 + \sqrt{7})$.

Ответ: (5; 5 + \sqrt{7})

Источник: ФИПИ