Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи около него можно описать окружность. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Следовательно, для углов $DAB$ и $BCD$ выполняется равенство:
$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.

2) Рассмотрим угол $KCD$. Он является смежным с углом $BCD$ четырёхугольника, так как точка $C$ лежит на отрезке $BK$. По свойству смежных углов их сумма равна $180^{\circ}$:
$\angle KCD + \angle BCD = 180^{\circ}$.

3) Из двух предыдущих равенств мы можем сделать вывод:
$\angle DAB = 180^{\circ} - \angle BCD$ и $\angle KCD = 180^{\circ} - \angle BCD$.
Отсюда следует, что $\angle DAB = \angle KCD$.

4) Теперь рассмотрим треугольники $KAB$ и $KCD$:
— Угол $\angle K$ является общим для обоих треугольников.
— Угол $\angle KAB$ (это тот же угол $DAB$) равен углу $\angle KCD$, как мы доказали в предыдущем пункте.

5) Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Таким образом, $\triangle KAB \sim \triangle KCD$ по двум углам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ