Задание №23 — Геометрия

#47893Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 18$ , $D C = 54$ , $A C = 48$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$ . По условию задачи прямые $AB$ и $DC$ параллельны ( $AB \parallel DC$ ).

2. При пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BAM = \angle DCM$ .
Также углы при вершине $M$ ( $\angle AMB$ и $\angle CMD$ ) равны как вертикальные.

3. Из равенства двух углов следует, что треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ ).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$

5. Пусть длина отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию весь отрезок $AC = 48$ , то длина отрезка $AM$ будет равна $48 - x$ .

6. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{18}{54} = \frac{48 - x}{x}$

7. Сократим дробь в левой части уравнения: $\frac{18}{54} = \frac{1}{3}$ .
Получаем уравнение:
$\frac{1}{3} = \frac{48 - x}{x}$

8. Решим уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 3 \cdot (48 - x)$
$x = 144 - 3x$
$x + 3x = 144$
$4x = 144$
$x = 144 : 4$
$x = 36$

Таким образом, длина отрезка $MC$ равна $36$ .

Ответ: 36

Источник: ФИПИ