Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

Окружность пересекает стороны $A B$ и $A C$ треугольника $A B C$ в точках $K$
и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A K = 14$ , а сторона $A C$ в 2 раза больше стороны $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$ . По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ . Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$ .

3. Углы $\angle APK$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$ . Отсюда следует, что $\angle APK = 180^\circ - \angle KPC$ . Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$ .

4. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$ :
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ( $\triangle AKP \sim \triangle ACB$ ).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$ .

6. По условию задачи сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC$ , то есть $AC = 2 \cdot BC$ . Подставим это соотношение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{2 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$ .

7. Сократим обе части равенства на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{2} = KP$ .

8. Подставим известное значение $AK = 14$ :
$KP = \frac{14}{2} = 7$ .

Ответ: 7

Источник: ФИПИ