Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим четырёхугольник $KBCP$. По условию задачи его вершины лежат на одной окружности. Такой четырёхугольник называется вписанным.

2. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle KBC + \angle KPC = 180^\circ$.

3. Углы $\angle APK$ и $\angle KPC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle APK = 180^\circ - \angle KPC$. Сравнивая это с предыдущим равенством, получаем: $\angle APK = \angle KBC$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$:
— Угол $\angle A$ у них общий;
— $\angle APK = \angle ABC$ (как мы доказали выше).
Следовательно, треугольники $AKP$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\triangle AKP \sim \triangle ACB$).

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$.

6. По условию задачи сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC$, то есть $AC = 2 \cdot BC$. Подставим это соотношение в нашу пропорцию:
$\frac{AK}{2 \cdot BC} = \frac{KP}{BC}$.

7. Сократим обе части равенства на $BC$ (так как длина стороны не равна нулю):
$\frac{AK}{2} = KP$.

8. Подставим известное значение $AK = 14$:
$KP = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ