Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует квадратный корень $\sqrt{6 - x}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе оно не имеет смысла в действительных числах. Составим неравенство:
$6 - x \geq 0$
$x \leq 6$

2. Преобразуем уравнение.
Заметим, что выражение $\sqrt{6 - x}$ стоит в обеих частях уравнения. Если мы перенесём все слагаемые в левую часть, они взаимно уничтожатся:
$x^{2} - 3x + \sqrt{6 - x} - \sqrt{6 - x} - 28 = 0$
$x^{2} - 3x - 28 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение.
Воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_{2} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Мы установили, что $x$ должен быть меньше или равен $6$.
Для $x_{1} = 7$: условие $7 \leq 6$ не выполняется. Значит, число $7$ является посторонним корнем.
Для $x_{2} = -4$: условие $-4 \leq 6$ выполняется. Это число является решением уравнения.

Ответ: -4

Источник: ФИПИ