Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $\frac{-19}{(x + 5)^2 - 6} \geq 0$, проанализируем знак числителя и знаменателя.

1. Заметим, что в числителе дроби стоит отрицательное число $-19$.
Чтобы вся дробь была больше или равна нулю (положительна или равна нулю), знаменатель должен быть отрицательным.
Важно: знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Следовательно, исходное неравенство равносильно строгому неравенству:
$(x + 5)^2 - 6 < 0$

2. Решим полученное неравенство. Для этого сначала найдём корни уравнения $(x + 5)^2 - 6 = 0$:
$(x + 5)^2 = 6$
Отсюда получаем два случая:
$x + 5 = \sqrt{6}$ или $x + 5 = -\sqrt{6}$
$x_1 = -5 + \sqrt{6}$
$x_2 = -5 - \sqrt{6}$

3. Рассмотрим выражение $f(x) = (x + 5)^2 - 6$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент перед $x^2$ положителен).
Значения функции будут отрицательными (ниже оси $Ox$) в промежутке между корнями уравнения.

4. Таким образом, решением неравенства является интервал:
$-5 - \sqrt{6} < x < -5 + \sqrt{6}$

Запишем это в виде промежутка: $x \in (-5 - \sqrt{6}; -5 + \sqrt{6})$.

Ответ: $(-5 - \sqrt{6}; -5 + \sqrt{6})$

Источник: ФИПИ