Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Рассмотрим выражение во второй скобке в левой части уравнения: $x^{2} + 8x + 16$. Заметим, что это выражение представляет собой квадрат суммы, так как оно соответствует формуле $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$, где $a = x$, а $b = 4$. Действительно, $x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = x^{2} + 8x + 16$.
Перепишем уравнение, используя эту формулу: $(x - 1)(x + 4)^{2} = 6(x + 4)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль: $(x - 1)(x + 4)^{2} - 6(x + 4) = 0$.

3. Теперь мы видим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки: $(x + 4) \cdot ((x - 1)(x + 4) - 6) = 0$.

4. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x + 4 = 0$ Отсюда $x_{1} = -4$.

Случай 2: $(x - 1)(x + 4) - 6 = 0$ Раскроем скобки внутри выражения: $x^{2} + 4x - x - 4 - 6 = 0$ Приведём подобные слагаемые: $x^{2} + 3x - 10 = 0$.

5. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$x_{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$; $x_{3} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-5$, $-4$ и $2$.

Ответ: -5; -4; 2.

Источник: ФИПИ