Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 9x^2 - 14x = y \\ 9x - 14 = y \end{cases}$

Шаг 1. Использование метода подстановки.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Следовательно, мы можем приравнять эти левые части друг к другу:
$9x^2 - 14x = 9x - 14$

Шаг 2. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе не забываем менять знаки на противоположные:
$9x^2 - 14x - 9x + 14 = 0$
Приведём подобные слагаемые ($-14x - 9x = -23x$):
$9x^2 - 23x + 14 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14 = 529 - 504 = 25$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{23 + 5}{2 \cdot 9} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$
$x_2 = \frac{23 - 5}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим $y$, подставив $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 9x - 14$:

1) Если $x_1 = \frac{14}{9}$, то:
$y_1 = 9 \cdot \frac{14}{9} - 14 = 14 - 14 = 0$
Получаем первую пару решений: $(\frac{14}{9}; 0)$.

2) Если $x_2 = 1$, то:
$y_2 = 9 \cdot 1 - 14 = 9 - 14 = -5$
Получаем вторую пару решений: $(1; -5)$.

Ответ: (1; -5), (14/9; 0)

Источник: ФИПИ