Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля будет равна $x - 30$ км/ч (так как первый едет на 30 км/ч быстрее второго).

По условию задачи оба автомобиля проходят дистанцию $S = 880$ км. Выразим время, затраченное каждым автомобилем на этот путь:
1) Время первого автомобиля: $t_1 = \frac{880}{x}$ ч.
2) Время второго автомобиля: $t_2 = \frac{880}{x - 30}$ ч.

Известно, что первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на 3 часа. Составим уравнение:
$\frac{880}{x - 30} - \frac{880}{x} = 3$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 30)$:
$\frac{880x - 880(x - 30)}{x(x - 30)} = 3$
$\frac{880x - 880x + 26400}{x^2 - 30x} = 3$
$\frac{26400}{x^2 - 30x} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{8800}{x^2 - 30x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 30x = 8800$
$x^2 - 30x - 8800 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8800) = 900 + 35200 = 36100$
$\sqrt{D} = \sqrt{36100} = 190$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{30 + 190}{2} = \frac{220}{2} = 110$
$x_2 = \frac{30 - 190}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна 110 км/ч.

Ответ: 110

Источник: ФИПИ