Геометрическая задача на вычисление · 142 задания
- Задание №23№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
- Задание №23№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
- Задание №23№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
- Задание №23№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
- Задание №23№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
- Задание №23№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
- Задание №23№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
- Задание №23№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
- Задание №23№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
- Задание №23№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
- Задание №23№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
- Задание №23№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
Решение
Решение.
1) Пусть ABCD — данный ромб, O — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны (AC⊥BD) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть BD=56, тогда BO=OD=56:2=28.
2) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки O перпендикуляр OH к стороне AB. По условию OH=14.
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (угол AOB=90∘). В этом треугольнике отрезок OH является высотой, проведённой к гипотенузе AB. Однако для нахождения углов нам достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник OHB, где угол OHB=90∘.
4) В прямоугольном треугольнике OHB гипотенуза BO=28, а катет OH=14. Заметим, что катет OH в два раза меньше гипотенузы BO (14=28:2). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30∘. Следовательно, ∠OBH=30∘.
5) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол ABC=2⋅∠OBH=2⋅30∘=60∘.
6) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180∘. Найдём второй угол ромба: ∠BAD=180∘−60∘=120∘. Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны 60∘,120∘,60∘,120∘.
Ответ: 60; 120.
Источник: ФИПИ