Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $BD = 56$, тогда $BO = OD = 56 : 2 = 28$.

2) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AB$. По условию $OH = 14$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB = 90^\circ$). В этом треугольнике отрезок $OH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AB$. Однако для нахождения углов нам достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник $OHB$, где угол $OHB = 90^\circ$.

4) В прямоугольном треугольнике $OHB$ гипотенуза $BO = 28$, а катет $OH = 14$. Заметим, что катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $BO$ ($14 = 28 : 2$). По свойству прямоугольного треугольника, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OBH = 30^\circ$.

5) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $ABC = 2 \cdot \angle OBH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

6) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдём второй угол ромба: $\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60; 120.

Источник: ФИПИ