Задание №23 — Геометрия

#47908Задание №23ФИПИ

Окружность и круг

Окружность с центром на стороне $A C$ треугольника $A B C$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $A B$ в точке $B$ . Найдите диаметр окружности, если $A B = 1$ , $A C = 5$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$ , а $R$ — её радиус. Так как окружность проходит через точку $C$ , то отрезок $OC = R$ . Поскольку точка $O$ лежит на $AC$ , то отрезок $AO = AC - OC = 5 - R$ .

2. По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$ . По свойству касательной, радиус $OB$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ( $\angle ABO = 90^\circ$ ).

3. В прямоугольном треугольнике $ABO$ катет $AB = 1$ , катет $OB = R$ , а гипотенуза $AO = 5 - R$ . Применим теорему Пифагора:
$AB^2 + OB^2 = AO^2$

4. Подставим известные значения в уравнение:
$1^2 + R^2 = (5 - R)^2$

5. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$1 + R^2 = 25 - 10R + R^2$

6. Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:
$1 = 25 - 10R$

7. Перенесём слагаемые для нахождения $R$ :
$10R = 25 - 1$
$10R = 24$
$R = 2,4$

8. Нам необходимо найти диаметр окружности. Диаметр $D$ в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot 2,4 = 4,8$

Ответ: 4,8

Источник: ФИПИ