Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость теплохода по течению реки равна $x + 5$ км/ч.
2) Скорость теплохода против течения реки равна $x - 5$ км/ч.

Расстояние в одну сторону составляет $216$ км. Выразим время, затраченное на движение:
— Время в пути по течению: $\frac{216}{x + 5}$ ч.
— Время в пути против течения: $\frac{216}{x - 5}$ ч.

Теплоход находился вне пункта отправления всего $23$ часа, из которых $5$ часов он стоял. Значит, чистое время в движении составляет:
$23 - 5 = 18$ ч.

Составим уравнение на основе общего времени в пути:
$\frac{216}{x + 5} + \frac{216}{x - 5} = 18$

Разделим обе части уравнения на $18$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$, учитывая, что $x > 5$:
$12(x - 5) + 12(x + 5) = (x + 5)(x - 5)$
$12x - 60 + 12x + 60 = x^2 - 25$
$24x = x^2 - 25$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 24$
$x_1 \cdot x_2 = -25$
Отсюда корни: $x_1 = 25$, $x_2 = -1$.

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, нам подходит только значение $x = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ