Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2. Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Вспомним свойство: накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3. Теперь посмотрим на треугольник $ABK$. Мы выяснили, что $\angle BAK = \angle KAD$ (так как $AK$ — биссектриса) и $\angle KAD = \angle BKA$ (как накрест лежащие). Отсюда следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

4. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный. В треугольнике $ABK$ равны углы при основании $AK$, значит, равны и боковые стороны: $AB = BK$.

5. По условию $BK = 10$. Следовательно, сторона параллелограмма $AB = 10$.

6. Найдём длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 10$ и $CK = 18$. Тогда:
$BC = BK + CK = 10 + 18 = 28$.

7. В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 10$ и $BC = AD = 28$.

8. Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (10 + 28) = 2 \cdot 38 = 76$.

Ответ: 76

Источник: ФИПИ