Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты в втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $4x$ кг, а во втором — $16y$ кг.

1. Рассмотрим первый случай:
Сливают оба сосуда целиком. Общая масса смеси составит $4 + 16 = 20$ кг. По условию, концентрация полученного раствора равна $57\%$, то есть $0,57$.
Составим уравнение по массе чистой кислоты:
$4x + 16y = 0,57 \cdot 20$
$4x + 16y = 11,4$

2. Рассмотрим второй случай:
Сливают равные массы растворов. Пусть взяли по $m$ кг каждого раствора. Тогда общая масса смеси равна $2m$ кг. Концентрация полученного раствора равна $60\%$, то есть $0,6$.
Составим уравнение:
$m \cdot x + m \cdot y = 0,6 \cdot (2m)$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 1,2$

3. Решим систему уравнений:
Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 1,2 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$4x + 16(1,2 - x) = 11,4$
Раскроем скобки:
$4x + 19,2 - 16x = 11,4$
Приведем подобные слагаемые:
$-12x = 11,4 - 19,2$
$-12x = -7,8$
Найдем $x$:
$x = \frac{-7,8}{-12} = 0,65$

4. Найдем массу кислоты в первом растворе:
Концентрация первого раствора $x = 0,65$ (или $65\%$).
Масса кислоты в первом сосуде: $4 \cdot 0,65 = 2,6$ кг.

Ответ: 2,6

Источник: ФИПИ