Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-16}{(x+2)^2 - 5} \geq 0$.

1. Заметим, что в числителе дроби стоит отрицательное число $-16$. Чтобы дробь была больше или равна нулю, её знаменатель должен быть отрицательным (так как «минус на минус даёт плюс»). При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x+2)^2 - 5 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим число $5$ как $(\sqrt{5})^2$:
$(x+2 - \sqrt{5})(x+2 + \sqrt{5}) < 0$

4. Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
$x+2 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_1 = -2 + \sqrt{5}$
$x+2 + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x_2 = -2 - \sqrt{5}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; -2-\sqrt{5})$ выражение положительно.
— На интервале $(-2-\sqrt{5}; -2+\sqrt{5})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(-2+\sqrt{5}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам необходимо найти значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это соответствует интервалу между корнями.

Следовательно, $-2-\sqrt{5} < x < -2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5}; -2+\sqrt{5})$

Источник: ФИПИ