Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. По условию центр лежит на стороне $AC$, а окружность проходит через точку $C$. Значит, $OC$ — радиус окружности. Обозначим радиус через $R$. Так как диаметр окружности равен $3,6$, то $R = 3,6 : 2 = 1,8$.

2) Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

3) В прямоугольном треугольнике $ABO$ нам известны катеты: $AB = 8$ (по условию) и $OB = R = 1,8$. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти гипотенузу $AO$:
$AO^2 = AB^2 + OB^2$
$AO^2 = 8^2 + 1,8^2$
$AO^2 = 64 + 3,24$
$AO^2 = 67,24$
$AO = \sqrt{67,24} = 8,2$.

4) Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, так как центр окружности по условию находится на этой стороне. Следовательно, длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AO$ и $OC$:
$AC = AO + OC$.
Поскольку $OC$ — это радиус окружности, $OC = R = 1,8$.
Тогда $AC = 8,2 + 1,8 = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ