Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Внутри параллелограмма $A B C D$ выбрали произвольную точку $F$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B F C$ и $A F D$ равна половине площади параллелограмма.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Проведём через точку $F$ прямую $MN$ , перпендикулярную сторонам $AD$ и $BC$ , так чтобы точка $M$ лежала на стороне $BC$ , а точка $N$ — на стороне $AD$ . Отрезок $MN$ является высотой параллелограмма $ABCD$ , так как он перпендикулярен паре параллельных сторон.

2. Обозначим длину стороны $AD$ как $a$ . Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то $BC = AD = a$ .

3. Отрезок $FM$ является высотой треугольника $BFC$ , опущенной на основание $BC$ . Обозначим его длину как $h_1$ . Тогда площадь треугольника $BFC$ вычисляется по формуле:
$S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot FM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1$ .

4. Отрезок $FN$ является высотой треугольника $AFD$ , опущенной на основание $AD$ . Обозначим его длину как $h_2$ . Тогда площадь треугольника $AFD$ вычисляется по формуле:
$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot FN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2$ .

5. Найдём сумму площадей этих треугольников:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (h_1 + h_2)$ .

6. Заметим, что сумма длин отрезков $h_1$ и $h_2$ равна длине отрезка $MN$ , который является высотой параллелограмма $ABCD$ . Обозначим $MN = H$ . Тогда:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$ .

7. Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = a \cdot H$ . Сравнивая это с полученным выражением для суммы площадей треугольников, видим, что:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ