Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Проведём через точку $F$ прямую $MN$, перпендикулярную сторонам $AD$ и $BC$, так чтобы точка $M$ лежала на стороне $BC$, а точка $N$ — на стороне $AD$. Отрезок $MN$ является высотой параллелограмма $ABCD$, так как он перпендикулярен паре параллельных сторон.

2. Обозначим длину стороны $AD$ как $a$. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то $BC = AD = a$.

3. Отрезок $FM$ является высотой треугольника $BFC$, опущенной на основание $BC$. Обозначим его длину как $h_1$. Тогда площадь треугольника $BFC$ вычисляется по формуле:
$S_{BFC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot FM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1$.

4. Отрезок $FN$ является высотой треугольника $AFD$, опущенной на основание $AD$. Обозначим его длину как $h_2$. Тогда площадь треугольника $AFD$ вычисляется по формуле:
$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot FN = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2$.

5. Найдём сумму площадей этих треугольников:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (h_1 + h_2)$.

6. Заметим, что сумма длин отрезков $h_1$ и $h_2$ равна длине отрезка $MN$, который является высотой параллелограмма $ABCD$. Обозначим $MN = H$. Тогда:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H$.

7. Площадь параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $S_{ABCD} = a \cdot H$. Сравнивая это с полученным выражением для суммы площадей треугольников, видим, что:
$S_{BFC} + S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ