Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Перед нами рациональное уравнение. Для его решения удобно воспользоваться методом введения новой переменной.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Так как переменная $x$ находится в знаменателе дроби, она не может быть равна нулю:
$x \neq 0$.

2. Введём новую переменную.
Заметим, что в уравнении есть слагаемые $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{x}$. Пусть $t = \frac{1}{x}$.
Тогда $t^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$.

3. Составим и решим квадратное уравнение относительно $t$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t^2 + 4t - 12 = 0$.
Решим его через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
Найдём корни уравнения:
$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

4. Вернёмся к исходной переменной $x$.
Сделаем обратную замену для каждого найденного значения $t$:
1) Если $t = 2$, то $\frac{1}{x} = 2$.
Отсюда $2x = 1$, значит $x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$.
2) Если $t = -6$, то $\frac{1}{x} = -6$.
Отсюда $-6x = 1$, значит $x = -\frac{1}{6}$.

5. Проверка ОДЗ.
Оба найденных значения ($0,5$ и $-\frac{1}{6}$) не равны нулю, следовательно, они являются корнями уравнения.

Ответ: -1/6; 0,5

Источник: ФИПИ