Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который едет медленнее). Тогда скорость первого велосипедиста равна $x + 16$ км/ч.

Оба велосипедиста преодолели дистанцию в $105$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

1) Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{105}{x}$ (ч).
2) Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{105}{x + 16}$ (ч).

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на $4$ часа раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на $4$ часа. Составим уравнение:
$\frac{105}{x} - \frac{105}{x + 16} = 4$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 16)$. Заметим, что по смыслу задачи $x > 0$.
$\frac{105(x + 16) - 105x}{x(x + 16)} = 4$
$\frac{105x + 1680 - 105x}{x^2 + 16x} = 4$
$\frac{1680}{x^2 + 16x} = 4$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{420}{x^2 + 16x} = 1$
$x^2 + 16x = 420$
$x^2 + 16x - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936$
$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-16 + 44}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-16 - 44}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -30$ не подходит по условию задачи. Следовательно, скорость второго велосипедиста равна $14$ км/ч.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ