Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде (собственная скорость лодки). По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $x + 5$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $x - 5$ км/ч.

Лодка прошла $208$ км в каждую сторону. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

3) Время, затраченное на путь против течения: $t_1 = \frac{208}{x - 5}$ ч.
4) Время, затраченное на обратный путь (по течению): $t_2 = \frac{208}{x + 5}$ ч.

По условию задачи на обратный путь лодка затратила на $5$ часов меньше. Составим уравнение:
$\frac{208}{x - 5} - \frac{208}{x + 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 5)(x + 5)$. Заметим, что по смыслу задачи $x > 5$, так как лодка смогла плыть против течения.

$\frac{208(x + 5) - 208(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 5$
$\frac{208x + 1040 - 208x + 1040}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{2080}{x^2 - 25} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$:
$\frac{416}{x^2 - 25} = 1$
$x^2 - 25 = 416$
$x^2 = 416 + 25$
$x^2 = 441$

Отсюда находим корни уравнения:
$x_1 = 21$
$x_2 = -21$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ