Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $AC = 52$, тогда $AO = OC = 52 : 2 = 26$.

2) Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. По условию $OH = 13$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике сторона $AO$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. Заметим, что катет $OH = 13$, а гипотенуза $AO = 26$. Так как катет в два раза меньше гипотенузы ($13 = 26 : 2$), то по свойству прямоугольного треугольника угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$.

4) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Значит, угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$:
$\angle A = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

5) Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем тупой угол ромба (угол $B$):
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

6) Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ; 120^\circ.

Источник: ФИПИ