Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра окружности к хордам. Пусть $OH$ — расстояние от центра до хорды $AB$, а $OK$ — искомое расстояние от центра до хорды $CD$. По условию $OH = 20$.

2. Вспомним свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка $H$ делит $AB$ на две равные части: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15$. Аналогично, точка $K$ делит $CD$ пополам: $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^{\circ}$). В нём катеты $AH = 15$ и $OH = 20$, а гипотенуза $AO$ является радиусом окружности $R$. По теореме Пифагора:
$R^2 = AH^2 + OH^2$
$R^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
Отсюда $R = \sqrt{625} = 25$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^{\circ}$). В нём гипотенуза $CO$ также является радиусом окружности, то есть $CO = R = 25$. Катет $CK = 20$. Нам нужно найти катет $OK$, который и является расстоянием до хорды $CD$. Снова воспользуемся теоремой Пифагора:
$OK^2 + CK^2 = CO^2$
$OK^2 + 20^2 = 25^2$
$OK^2 + 400 = 625$
$OK^2 = 625 - 400 = 225$
$OK = \sqrt{225} = 15$.

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 15.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ