Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D$ , если $A B = 30$ , $C D = 40$ , а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно 20.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра окружности к хордам. Пусть $OH$ — расстояние от центра до хорды $AB$ , а $OK$ — искомое расстояние от центра до хорды $CD$ . По условию $OH = 20$ .

2. Вспомним свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка $H$ делит $AB$ на две равные части: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Аналогично, точка $K$ делит $CD$ пополам: $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{40}{2} = 20$ .

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^{\circ}$ ). В нём катеты $AH = 15$ и $OH = 20$ , а гипотенуза $AO$ является радиусом окружности $R$ . По теореме Пифагора:
$R^2 = AH^2 + OH^2$
$R^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
Отсюда $R = \sqrt{625} = 25$ .

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^{\circ}$ ). В нём гипотенуза $CO$ также является радиусом окружности, то есть $CO = R = 25$ . Катет $CK = 20$ . Нам нужно найти катет $OK$ , который и является расстоянием до хорды $CD$ . Снова воспользуемся теоремой Пифагора:
$OK^2 + CK^2 = CO^2$
$OK^2 + 20^2 = 25^2$
$OK^2 + 400 = 625$
$OK^2 = 625 - 400 = 225$
$OK = \sqrt{225} = 15$ .

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 15.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ