Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 25$ , $B C = 15$ , $C F : D F = 3 : 2$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 15$ и $AD = 25$ . Прямая $EF$ параллельна основаниям, причём точка $E$ лежит на $AB$ , а $F$ — на $CD$ . По условию $CF : DF = 3 : 2$ . Введём коэффициент пропорциональности $x$ , тогда $CF = 3x$ , а $DF = 2x$ . Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 3x + 2x = 5x$ .

2) Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$ . Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$ , а основание $AD$ — в точке $M$ .

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$ . По построению $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel CM$ . Значит, $EBCK$ и $ABCM$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $EK = BC = 15$ и $AM = BC = 15$ .

4) Найдём отрезок $MD$ : $MD = AD - AM = 25 - 15 = 10$ .

5) Рассмотрим треугольник $MCD$ . Отрезок $KF$ параллелен $MD$ (так как $EF \parallel AD$ ). Следовательно, треугольник $KCF$ подобен треугольнику $MCD$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{KF}{10} = \frac{3x}{5x}$ .
Сократим на $x$ : $\frac{KF}{10} = \frac{3}{5}$ .
Отсюда $KF = \frac{10 \cdot 3}{5} = 6$ .

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ : $EF = EK + KF = 15 + 6 = 21$ .

Ответ: 21

Источник: ФИПИ