Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 15$ и $AD = 25$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, причём точка $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $CD$. По условию $CF : DF = 3 : 2$. Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CF = 3x$, а $DF = 2x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 3x + 2x = 5x$.

2) Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$, а основание $AD$ — в точке $M$.

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$. По построению $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel CM$. Значит, $EBCK$ и $ABCM$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $EK = BC = 15$ и $AM = BC = 15$.

4) Найдём отрезок $MD$: $MD = AD - AM = 25 - 15 = 10$.

5) Рассмотрим треугольник $MCD$. Отрезок $KF$ параллелен $MD$ (так как $EF \parallel AD$). Следовательно, треугольник $KCF$ подобен треугольнику $MCD$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения: $\frac{KF}{10} = \frac{3x}{5x}$.
Сократим на $x$: $\frac{KF}{10} = \frac{3}{5}$.
Отсюда $KF = \frac{10 \cdot 3}{5} = 6$.

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 15 + 6 = 21$.

Ответ: 21

Источник: ФИПИ