Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 25$ , $B C = 15$ , $C F : D F = 3 : 2$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 15$ и $AD = 25$ . Прямая $EF$ параллельна основаниям, причём точка $E$ лежит на $AB$ , а $F$ — на $CD$ . По условию $CF : DF = 3 : 2$ . Введём коэффициент пропорциональности $x$ , тогда $CF = 3x$ , а $DF = 2x$ . Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 3x + 2x = 5x$ .

2) Проведём дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую, параллельную боковой стороне $AB$ . Пусть эта прямая пересекает отрезок $EF$ в точке $K$ , а основание $AD$ — в точке $M$ .

3) Рассмотрим четырёхугольники $EBCK$ и $ABCM$ . По построению $BC \parallel EK \parallel AM$ и $AB \parallel CK \parallel CM$ . Значит, $EBCK$ и $ABCM$ — параллелограммы. По свойствам параллелограмма противоположные стороны равны: $EK = BC = 15$ и $AM = BC = 15$ .

4) Найдём отрезок $MD$ : $MD = AD - AM = 25 - 15 = 10$ .

5) Рассмотрим треугольник $MCD$ . Отрезок $KF$ параллелен $MD$ (так как $EF \parallel AD$ ). Следовательно, треугольник $KCF$ подобен треугольнику $MCD$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CKF = \angle CMD$ как соответственные при параллельных прямых).

6) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{KF}{MD} = \frac{CF}{CD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{KF}{10} = \frac{3x}{5x}$ .
Сократим на $x$ : $\frac{KF}{10} = \frac{3}{5}$ .
Отсюда $KF = \frac{10 \cdot 3}{5} = 6$ .

7) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ : $EF = EK + KF = 15 + 6 = 21$ .

Ответ: 21

Источник: ФИПИ